☛ Étonnant, non ?

Énoncé

On suppose que, pour tout entier \(n\) , \(x^3_0 + x^3_1 + \ldots + x^3_n = (x_0 + x_1 + \ldots + x_n)^2\) .

Initialisation : \(x_0\)  vérifie \(x^3_0=x_0^2\)  soit \(x_0=0\)  ou \(x_0=1\) .

On a bien  \(\displaystyle 0=\frac{0(0 + 1)}{2}\)  et \(\displaystyle1 = \frac{1(1+1)}{2}\) .

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . On suppose qu'il existe un entier naturel \(m\) qui vérifie :  \(\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}\) .

Solution

Il s'agit de démontrer qu'il existe un entier naturel \(p\) tel que \(x_0 + \ldots + x_{n+1} =\dfrac{p(p + 1)}{2}\) .

D'après l'énoncé, \(x^3_0+\ldots+x^3_{x+1}=(x_0+\ldots+x_{n+1})^2\) , soit en utilisant l'hypothèse de récurrence, \(x_0^3+\ldots+x^3_{n+1}=\left( \dfrac{m(m+1)}{2}+x_{n+1}\right)^2\) .
De plus,  \(x^3_0+x^3_1+\ldots+x^3_n=(x_0+x_1+\ldots+x_n)^2=\left(\dfrac{m(m+1)}{2}\right)^2\) , ce qui donne :  \(\displaystyle \frac{m^2(m+1)^2}{4}+x^3_{n+1}=\frac{m^2(m+1)^2}{4}+m(m+1)x_{n+1}+x^2_{n+1}\) .

On obtient alors une condition nécessaire sur \(x_{n+1}\) , à savoir :  \(x^3_{n+1} − x^2_{n+1} − m(m + 1)x_{n+1} = 0\)  équivalente à \(x_{n+1}=0\)  ou  \(x^2_{n+1} − x_{n+1} − m(m + 1) = 0\) .

Cette dernière équation a pour discriminant :   \(\Delta = 1 + 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 = (2m + 1)^2\) .

Il y a donc deux solutions :

\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{(2m+1)^2}}{2}\)  ou \(\displaystyle\frac{1-\sqrt{(2m+1)^2}}{2}\)  soit \(\displaystyle\frac{1\pm(2m+1)}{2}\)  soit enfin \(m + 1\)  ou \(-m\) .

Reste à vérifier que ces \(3\) valeurs conviennent :

• Si \(x_{n+1} = 0\) , alors \(\displaystyle x_0 + \ldots + x_{n+1} = \frac{m(m + 1)}{2}\)
  
• Si \(x_{n+1} = m + 1\) , alors \(\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}+m+1=\frac{(m+1)(m+2)}{2}\)
  
• Si \(x_{n+1}=-m\) , alors \(\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}-m=\frac{(m-1)m}{2}\)
  

Par récurrence, \(\forall n \in\mathbb{N}\) , \(\exists m \in\mathbb{N}\)  tel que \(\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}\) .